APLICACIONS DE L'ARITMÈTICA MODULAR

L'aritmètica modular, estudiada sistemàticament en primer lloc per Carl Friedrich Gauss al final del Segle XVIII, s'aplica en teoria de números, àlgebra abstracta, criptografia, i en arts visuals i musicals. Les operacions aritmètiques que hui en dia fan la majoria de les computadores són aritmètic modulars, on el mòdul és 2b (b és el nombre de bits dels valors sobre els quals operamos). Açò es veu clar en la compilació de llenguatges de programació com el C; on per exemple totes les operacions aritmètiques sobre 'int', sencers, es prenen mòdul 232 en la majoria de les computadores.
En l'art
En música, a causa de l'equivalència d'octaves i equivalència enarmònica (esto és, els passos en raons de 1/2 o 2/1 són equivalents, i Do# és el mateix que Reb), l'aritmètica modular s'usa quan considerem l'escala de dotze tons igualment temperada, especialment en el dodecafonisme.

EXEMPLES DE MÒDULS

                         MÒDUL 7                                                            MÒDUL 6
+ 0 1 2 3 4 5 6                     x 0 1 2 3 4 5 6                 + 0 1 2 3 4 5                x 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 6                     0 0 0 0 0 0 0 0                 0 0 1 2 3 4 5                0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 6 0                     1 0 1 2 3 4 5 6                 1 1 2 3 4 5 0                1 0 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 6 0 1                     2 0 2 4 6 1 3 5                 2 2 6 4 5 0 1                2 0 2 4 0 2 4
3 3 4 5 6 0 1 2                     3 0 3 6 2 5 1 4                 3 3 4 5 0 1 2                3 0 3 0 3 0 3
4 4 5 6 0 1 2 3                     4 0 4 1 5 2 6 3                 4 4 5 0 1 2 3                4 0 4 2 0 4 2
5 5 6 0 1 2 3 4                     5 0 5 3 1 6 4 2                 5 5 0 1 2 3 4                5 0 5 4 3 2 1
6 6 0 1 2 3 4 5                     6 0 6 5 4 3 2 1

ARITMÈTICA DEL RELLOTGE

En un rellotge, si són les 7 i passen 8 hores, quin hora serà? Seran les 3. Per a indicar aquesta situació escriurem:
7 + 8 = 13
13 és congruent a 1 (mòdul 12) ~~~> set més huit és congruent amb 3 mòdul 12

Com en un rellotge hi han 12 hores utilitzarem els números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 i 11.
12 és congruent a 0 (mòdul 12)
En un rellotge dos números (a i b) són congruents (mòdul 12) si representen la mateixa hora.

ISBN

International Standard Book Number
A partir del 2007 l'ISBN té 13 dígits per a semblar-se al sistema de còdig de barres i tenen una estructura dividida en quatre parts:
- Els primers dígits indiquen el país d'origen del producte.
-Els següents el còdig de l'empresa i el còdig del producte.
- L'últim és el còdig de control.
Per comprovar el dígit de control numerem els dígits de drets a esquerra. A continuació si se sumen els dígits de les posicions imparells, el resultat es multiplica per tres i se li sumen els dígits de les posicions pars. Se busca la desena inmediatament superior i se li restael resultat obtingut.El resultat final és del dígit de control. Si el resultat és un múltiple de 10, el dígit de control serà 0.
EX: Trobar el dígit de control de control per a l'ISBN 123456789041
1. Numerem de dreta a esquerra ~~> 140987654321
2. Suma dels números dels llocs imparells ~~> 21
3.Multiplicar per 3 ~~> 63
4. Sumem xifres de la posició par ~~> 29
5. Sumar impars x3 + pars ~~> 63 + 29 = 92
6. Desena superior a 92 ~~> 100
7. 100 - 92 ~~> 8
                                                  8

MISSATGES CIFRATS

Per a simplificar els missatges anem a utilitzar únicament lletres majúscules i espais en blanc. Per a la qual cosa, asignem números a cada u d'aquests símbols.

-  A  B  C  D  E  F  G  H  I  J    K  L  M  N  O  P   Q  R   S  T  U   V  W  X  Y  Z
0  1  2   3   4   5  6  7   8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Treballem amb l'aritmètica mòdul 27.
Primer busquem un nombre senzill (a minúscula) que tinga invers en mòdul 27. Si a = 4, el seu invers és 7, perquè 4·7 és congruent a 1.
Agafem un altre número (b minúscula); és el que se vuiga, i fem la transformació:
a · x +  b  =  y
4 · 8 + 10 = 42
EX: Imaginem que volem enviar el missatge:
                      H O  L   A  -   J   U  A  N
                      8 15 12   1  0 10 21  1  14
4·8+10= 42 que és congruent a 15 (mòdul 27), que equival a la lletra O
4·15+10= 70 que és congruent a 16 (mòdul 27) que equival a la lletra P
4·12+10= 58 que és congruent a 4 (mòdul 27) que equival a la lletra D
4·1+10= 14 que és congruent a 14 (mòdul 27) que equival a la lletra N
4·0+10= 10 que és congruent a 10 (mòdul 27) que equival a la lletra J
4·10+10 és congruent a 23 (mòdul 27) que equival a la lletra W
4·21+10 és congruent a 13 (mòdul 27) que equival a la lletra M
4·1+10 és congruent a 14 (mòdul 27) que equival a la lletra N
4·14+10 és congruent a 12 (mòdul 27) que equival a la lletra L
Ara qui rep el misstage (en aquest cas Juan) té que recòrrer el camí invers:
1. Convertir lletres en números
2. Restar 10 i dividir per 4 (és a dir, multiplicar per 7)
3. Passar a mòdul 27
4. Passar a lletres

NIF

El Número d'Identificació Fiscal (NIF) és la manera d'identificació tributària utilitzada a Espanya per a les persones físiques (con document nacional d'identitat (DNI) o número d'identificació d'estranger (NIE) assignats pel Ministeri de l'Interior) i les persones jurídicas.L'antecedent del NIF és el CIF, utilitzat en persones jurídiques.
     Es pot traure a partir del residu de la divisió dels numeros del DNI entre 23. La lletra es sabrà a partir de la següent taula:
  0 1  2  3  4  5  6  7 8  9 10  11  12   13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
  T R W A G M Y F P D   X   B    N    T   Z   S  Q  V   H  L  C   K  E