El misteriós número 6174

Mysterious number 6174 és un curiosíssim article de Yutaka Nishiyama dedicat a una estranya propietat del número 6174. El que a primera vista pareix un número qualsevol tanca tot un misteri sense resoldre, que és relativament fàcil d'explicar. És recomanable veure també l'article original perquè conté més detalls, i també un bonic puzle matemàtic al final:

L'operació de Kaprekar

Hi ha una operació matemàtica anomenada Operació de Kaprekar, un tant singular. Consistix simplement a reordenar els dígits d'un número de manera que s'obtinga el major i el menor número possible, restant llavors el menor del major. Esta operació es pot aplicar a números de qualsevol grandària, i es puere repetir una vegada i una altra. Resulta interessant el que succeïx exactament amb quatre xifres, sempre que no siguen totes iguals. Per exemple, començant per 2007, l'any en què estem:

• 7200 - 0027 = 7137
• 7731 - 1377 = 6354
• 6543 - 3456 = 3087
• 8730 - 0378 = 8352
• 8532 - 2358 = 6174
• 7641 - 1467 = 6174
• 7641 - 1467 = 6174
• …

A l'arribar a 6174 el resultat es repetix una vegada i una altra. (Si durant l'operació apareixen números de menys de quatre xifres, basta omplir-los amb zeros a l'esquerra.)

El curiós és que independentment del número pel qual es comence, mentres tinga quatre xifres i no siguen totes iguals, s'arriba sempre al 6174. Es pot deduir per què succeïx açò examinant com es comporta cada dígit durant l'operació, o provant amb els 8991 números d'este tipus que existixen entre 1000 i 9998:. Sempre s'arriba a 6174 en un màxim de set passos, i el més probable és que es necessiten només tres. Els que sàpien programar poden utilitzar el codi del Generador de Sèries de Kaprekar per a confirmar-ho.

¿És el 6174 l'únic número amb aquesta propietat?

No, però examinar què succeïx amb altres números de distinta longitud tira més misteri que llum a l'assumpte.

• Si es prova amb els números de dos dígits no s'arriba mai a un número fix, sinó a un bucle cíclic del tipus 09, 81, 63, 27, 45, 09.
• Amb tres dígits s'arriba a 495.
• Per a quatre dígits el número és el misteriós 6174.
• Per a cinc dígits, no hi ha número fix, sinó tres cicles (a més de distinta longitud).
• Per a sis dígits, es pot arribar al 549945, al 631764 o a un cicle de set números.
• Per a set dígits tampoc hi ha número fix, sinó un únic cicle de nou números. Per a huit i nou hi ha un altre parell de números en cada cas.
• Amb deu dígits es pot arribar a tres valors distints: 6333176664, 9753086421 i 9975084201, o entrar en cinc cicles curts.
• Algú es va entretindre a programar un ordinador per a calcular fins a 15 dígits, amb els que es pot arribar a huit resultats: dos números fixos o sis cicles curts.

Fins al moment, cap matemàtic té clar per què succeïx tot açò i per què amb tres i quatre dígits s'arriba a un únic nombre, mentres que amb un altre nombre de dígits no s'arriba a cap sinó a cicles, o per què per a complicar la cosa a vegades s'arriba a diversos números possibles i també a cicles. Hi haurà algun número amb més dígits que convergisca en un sol número semblant al 6174? No se sap. És un dels molts misteris de la Teoria de Números, i bé podria ser simplement quelcom purament circumstancial: una gran coincidència.

En honor al seu descobridor, el número 6174 es coneix també com Constant de Kaprekar.

Pitàgores

Pitágoras

Naixement: 580 a.C. Isla de Samos, Grècia
Mort: 495 a. C. Metaponto, Itàlia
Residència: Samos, Crotona
Camp: Filosofia, Matemàtiques, Música, Ètica, Política
Conegut per: Teorema de pitàgores, Armonia de les esferes, Afinació pitagórica.

        Pitàgores de Samos (en grec antic Πυθαγόρας) (ca. 580 a. C. - ca. 495 a. C.) va ser un filòsof i matemàtic grec. Històricament se li considera com el pare de les matemàtiques ja que va ser el primer pensador que les va situar com a ciència del raonament. Va contribuir de manera significativa en l'avanç de l'aritmètica, derivada particularment de les relacions numèriques aplicades a la teoria de la música, l'astronomia i la teoria de pesos i mesures. Es va interessar també en medicina, filosofia, ètica, entre altres disciplines. És el fundador de la germandat pitagòrica, una societat que, si bé era de naturalesa predominantment religiosa, van formular principis que van influenciar a tant a Plató com a Aristòtil, i de manera més general, al desenrotllament de les matemàtiques i la filosofia racional a Occident.

 

No es conserva cap escrit original de Pitàgores, i els seus deixebles -els pitagòrics- invariablement justificaven les seues doctrines citant l'autoritat del mestre de forma indiscriminada, per la qual cosa és difícil distingir entre les troballes de Pitàgores i les dels seus seguidors. Així i tot, se li acredita Pitàgores la teoria de la significació funcional dels números en el món objectiu i en música. Altres descobriments generalment atribuïts a ell (la incommensurabilitat del costat i la diagonal del quadrat, o el teorema de Pitàgores per als triangles rectangles) van ser probablement desenrotllats posteriorment per l'escola pitagòrica.

EL NÚMERO π

   π (pi) és la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre, en geometria euclidiana. És un número irracional i una de les constants matemàtiques més importants. S'empra sovint en matemàtiques, física i enginyeria. El valor numèric de π, truncat a les seues primeres xifres, és el següent:
                                           π = 3,14159265358979323846...
   El valor de π s'ha obtingut amb diverses aproximacions al llarg de la història, sent una de les constants matemàtiques que més apareix en les equacions de la física, junt amb el número e. Per això, tal vegada siga la constant que més passions deslliga entre els matemàtics professionals i aficionats. La relació entre la circumferència i el seu diàmetre no és constant en geometries no euclídeas.
   La notació amb la lletra grega π prové de la inicial de les paraules d'origen grec "περιφέρεια" (perifèria) i 'περίμετρον' (perímetre) d'un círculo, notació que va ser utilitzada primer per William Oughtred (1574-1660) , i proposat el seu ús pel matemàtic gal·lés William Jones (1675-1749) , encara que va ser el matemàtic Leonhard Euler, amb la seua obra «Introducción al càlcul infinitesimal» de 1748, qui la va popularitzar. Va ser coneguda anteriorment com constant de Ludolph (en honor al matemàtic Ludolph van Ceulen) o com constant d'Arquimedes (que no s'ha de confondre amb el nombre d'Arquimedes).

   El valor aproximat de ? en les antigues cultures es remunta a l'època de l'escriba egipci Ahmes l'any 1800 a. C., descrit en el papir Rhind, on s'empra un valor aproximat de π afirmant que: l'àrea d'un cercle és semblant a la d'un quadrat, el costat de la qual és igual al diàmetre del cercle disminuït en 1/9, és a dir, igual a 8/9 del diàmetre. En notació moderna:




   Entre els huit documents matemàtics trobats de l'antiga cultura egípcia, en dos es parla de cercles. U és el papir Rhind i l'altre és el papir de Moscou. Només en el primer es parla del valor aproximat del número π. L'investigador Otto Neugebauer, en un annex del seu llibre The Exact Sciences in Antiquity, descriu un mètode inspirat en els problemes del papir d'Ahmes per a esbrinar el valor de π, per mitjà de l'aproximació de l'àrea d'un quadrat de costat 8, a la d'un cercle de diàmetre 8.

APLICACIONS DE L'ARITMÈTICA MODULAR

L'aritmètica modular, estudiada sistemàticament en primer lloc per Carl Friedrich Gauss al final del Segle XVIII, s'aplica en teoria de números, àlgebra abstracta, criptografia, i en arts visuals i musicals. Les operacions aritmètiques que hui en dia fan la majoria de les computadores són aritmètic modulars, on el mòdul és 2b (b és el nombre de bits dels valors sobre els quals operamos). Açò es veu clar en la compilació de llenguatges de programació com el C; on per exemple totes les operacions aritmètiques sobre 'int', sencers, es prenen mòdul 232 en la majoria de les computadores.
En l'art
En música, a causa de l'equivalència d'octaves i equivalència enarmònica (esto és, els passos en raons de 1/2 o 2/1 són equivalents, i Do# és el mateix que Reb), l'aritmètica modular s'usa quan considerem l'escala de dotze tons igualment temperada, especialment en el dodecafonisme.

EXEMPLES DE MÒDULS

                         MÒDUL 7                                                            MÒDUL 6
+ 0 1 2 3 4 5 6                     x 0 1 2 3 4 5 6                 + 0 1 2 3 4 5                x 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 6                     0 0 0 0 0 0 0 0                 0 0 1 2 3 4 5                0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 6 0                     1 0 1 2 3 4 5 6                 1 1 2 3 4 5 0                1 0 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 6 0 1                     2 0 2 4 6 1 3 5                 2 2 6 4 5 0 1                2 0 2 4 0 2 4
3 3 4 5 6 0 1 2                     3 0 3 6 2 5 1 4                 3 3 4 5 0 1 2                3 0 3 0 3 0 3
4 4 5 6 0 1 2 3                     4 0 4 1 5 2 6 3                 4 4 5 0 1 2 3                4 0 4 2 0 4 2
5 5 6 0 1 2 3 4                     5 0 5 3 1 6 4 2                 5 5 0 1 2 3 4                5 0 5 4 3 2 1
6 6 0 1 2 3 4 5                     6 0 6 5 4 3 2 1

ARITMÈTICA DEL RELLOTGE

En un rellotge, si són les 7 i passen 8 hores, quin hora serà? Seran les 3. Per a indicar aquesta situació escriurem:
7 + 8 = 13
13 és congruent a 1 (mòdul 12) ~~~> set més huit és congruent amb 3 mòdul 12

Com en un rellotge hi han 12 hores utilitzarem els números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 i 11.
12 és congruent a 0 (mòdul 12)
En un rellotge dos números (a i b) són congruents (mòdul 12) si representen la mateixa hora.

ISBN

International Standard Book Number
A partir del 2007 l'ISBN té 13 dígits per a semblar-se al sistema de còdig de barres i tenen una estructura dividida en quatre parts:
- Els primers dígits indiquen el país d'origen del producte.
-Els següents el còdig de l'empresa i el còdig del producte.
- L'últim és el còdig de control.
Per comprovar el dígit de control numerem els dígits de drets a esquerra. A continuació si se sumen els dígits de les posicions imparells, el resultat es multiplica per tres i se li sumen els dígits de les posicions pars. Se busca la desena inmediatament superior i se li restael resultat obtingut.El resultat final és del dígit de control. Si el resultat és un múltiple de 10, el dígit de control serà 0.
EX: Trobar el dígit de control de control per a l'ISBN 123456789041
1. Numerem de dreta a esquerra ~~> 140987654321
2. Suma dels números dels llocs imparells ~~> 21
3.Multiplicar per 3 ~~> 63
4. Sumem xifres de la posició par ~~> 29
5. Sumar impars x3 + pars ~~> 63 + 29 = 92
6. Desena superior a 92 ~~> 100
7. 100 - 92 ~~> 8
                                                  8