El misteriós número 6174

Mysterious number 6174 és un curiosíssim article de Yutaka Nishiyama dedicat a una estranya propietat del número 6174. El que a primera vista pareix un número qualsevol tanca tot un misteri sense resoldre, que és relativament fàcil d'explicar. És recomanable veure també l'article original perquè conté més detalls, i també un bonic puzle matemàtic al final:

L'operació de Kaprekar

Hi ha una operació matemàtica anomenada Operació de Kaprekar, un tant singular. Consistix simplement a reordenar els dígits d'un número de manera que s'obtinga el major i el menor número possible, restant llavors el menor del major. Esta operació es pot aplicar a números de qualsevol grandària, i es puere repetir una vegada i una altra. Resulta interessant el que succeïx exactament amb quatre xifres, sempre que no siguen totes iguals. Per exemple, començant per 2007, l'any en què estem:

• 7200 - 0027 = 7137
• 7731 - 1377 = 6354
• 6543 - 3456 = 3087
• 8730 - 0378 = 8352
• 8532 - 2358 = 6174
• 7641 - 1467 = 6174
• 7641 - 1467 = 6174
• …

A l'arribar a 6174 el resultat es repetix una vegada i una altra. (Si durant l'operació apareixen números de menys de quatre xifres, basta omplir-los amb zeros a l'esquerra.)

El curiós és que independentment del número pel qual es comence, mentres tinga quatre xifres i no siguen totes iguals, s'arriba sempre al 6174. Es pot deduir per què succeïx açò examinant com es comporta cada dígit durant l'operació, o provant amb els 8991 números d'este tipus que existixen entre 1000 i 9998:. Sempre s'arriba a 6174 en un màxim de set passos, i el més probable és que es necessiten només tres. Els que sàpien programar poden utilitzar el codi del Generador de Sèries de Kaprekar per a confirmar-ho.

¿És el 6174 l'únic número amb aquesta propietat?

No, però examinar què succeïx amb altres números de distinta longitud tira més misteri que llum a l'assumpte.

• Si es prova amb els números de dos dígits no s'arriba mai a un número fix, sinó a un bucle cíclic del tipus 09, 81, 63, 27, 45, 09.
• Amb tres dígits s'arriba a 495.
• Per a quatre dígits el número és el misteriós 6174.
• Per a cinc dígits, no hi ha número fix, sinó tres cicles (a més de distinta longitud).
• Per a sis dígits, es pot arribar al 549945, al 631764 o a un cicle de set números.
• Per a set dígits tampoc hi ha número fix, sinó un únic cicle de nou números. Per a huit i nou hi ha un altre parell de números en cada cas.
• Amb deu dígits es pot arribar a tres valors distints: 6333176664, 9753086421 i 9975084201, o entrar en cinc cicles curts.
• Algú es va entretindre a programar un ordinador per a calcular fins a 15 dígits, amb els que es pot arribar a huit resultats: dos números fixos o sis cicles curts.

Fins al moment, cap matemàtic té clar per què succeïx tot açò i per què amb tres i quatre dígits s'arriba a un únic nombre, mentres que amb un altre nombre de dígits no s'arriba a cap sinó a cicles, o per què per a complicar la cosa a vegades s'arriba a diversos números possibles i també a cicles. Hi haurà algun número amb més dígits que convergisca en un sol número semblant al 6174? No se sap. És un dels molts misteris de la Teoria de Números, i bé podria ser simplement quelcom purament circumstancial: una gran coincidència.

En honor al seu descobridor, el número 6174 es coneix també com Constant de Kaprekar.